中学生レベルの数学解説。かけ算の分配法則はくっそ便利

いやぁ、先月はほとんど書けなかった。前半にゲームをやりすぎて、後半にやらないといけない作業を溜まらせてしまった。今年はそういうことのないようにしたい。

さて、昨年は統計についてちょっとした解説を書いた。今年は、数学や論理学についても同様に初学者向けの記事を書いてみたい。

というわけで、本年一つ目の記事は数学について。

a + aはなぜ2aになるのか

中学校の一年目だろうか、a + aというような、アルファベットを使う数学を学び始める。人によってはここで躓くともいわれているが、それはちょっと教え方が悪いのではないだろうかという気はしている。

私の持論として、数学は一番教えやすい学問だ。全部理屈で構成されているのだから。数学を教えられない人間は、それ以外の何も、少なくとも論理的には教えることができないだろう。

ただしそれは、教わる側に学ぶ意欲があればの話ではある。やる気がない人に教えるのは難しい。

さて、a + aを教えるとき、一般的には物体を使うのではないだろうか。例えば、「リンゴが一つあるところに、もう一つリンゴを持ってきたら、リンゴは二つになっているだろう？　だから、aが一つあるところに、もうひとつaを持ってくると、aは二つになる。だから2aになるんだ」という調子で。

しかし私はそういう教え方が嫌いだ。「じゃあ-a + -aはどうして-2aになるのか？」と聞き返してしまう。リンゴが-1個あるところに、もうひとつ-1個のリンゴを持ってくるのか？　マイナス個のリンゴってどんなリンゴだ、見せて見ろといわずにはいられない。

だから私ならばこのように教える。

数学のお約束は教えてあるものとしよう。つまり、因数の1は省略可能だし、好きなだけ書いていいということ。不都合がなければかけ算の記号も省略していいこと。因数は数を左に、変数を右に書くということ。そしてかけ算の分配法則も。するとこうなる。

a + a

= 1a + 1a

= a(1 + 1)

= a(2)

= 2a

a + aを教えてから、2a + 3aを教えるまでの期間はほとんど空かないはずだ。ならば、a + aを教える段階で分配法則を教えたっていいだろう。2a + 3aを教える段階まで引き延ばす利点はない。

a + a = 2aは計算結果ではない

この式変形で何をしているかといえば、これは計算ではない。

1 + 1 = 2というのは、1と1を足しあわせて、2という別な数に作り替えている。これは計算結果だ。しかし、a + a = 2aはそうではない。aとaを足しあわせて、2aという別な何かを作り出したわけではない。

a + aという多項式を、2*aという単項式に書き換えたにすぎない。もっと簡単に言えば、足し算の式をかけ算の式に変換しただけだ。

そもそも、計算は数に対して行うものであって、変数に対して行うものではない。変数とは、何かしらの数を当てはめることが許される入れ物であって、数そのものではない。数でないものを数と同じように計算できるわけがない。

通分はなぜ必要なのか？

分数ができない大学生、なんて話もある。分数の足し算の時、通分をするだろう。あれがなぜ必要なのか理解していない人も多いのではないだろうか。

通分とは、分子と分母に、0ではない同じ数をかけることが許される仕組みを利用したものだ。つまり、1/2の分子と分母に3を掛け合わせて、3/6にするような場合に使う。

1/2 + 1/3を計算するために、3/6 + 2/6と書き換えることが通分だ。

が、なぜ通分するのか？　そういう変形が許されるのは分かるとしても、どうしてそういう変形をしなければならないのか？

一般的な教え方として、図を使ったり、ケーキを使って教えることがあるだろう。同じ大きさのケーキが二つあるとする。一方のケーキはすでに2等分されており、もう一つは3等分されている。このとき、一切れあたりの大きさを等しくするためにはどうすればいいか？

2等分されたものを3等分し、3等分されたものを2等分すればいい。初期状態から見て6等分された状態になれば、一切れあたりの大きさが等しくなる。

というような教え方だ。

だが、私はこういう教え方も嫌いだ。私ならば、これもやはりかけ算の分配法則を使って教える。

1/2 + 1/3

=3/6 + 2/6

=3*1/6 + 2*1/6

=1/6(3 + 2)

=1/6(5)

=5/6

というわけだ。

つまりなぜ通分するのかといえば、1/6という共通因数を作り出すことで、かけ算の分配法則を利用できる形にするためだと言える。

自然は数学を説明するためにあるわけではない

数学を使って自然を説明するのはいい。数学は、そういうことができるように調整されて作られている。

しかし逆はそうではない。

自然は、数学を説明するためにあるわけでもなければ、そのために調整されてもいない。だから、自然を使って数学を説明するのは筋違いだ。

もちろん、そうすることが便利な場合もある。絶対に使ってはいけないとはいわない。

あくまでも便宜的に、ある条件下においては理解の助けになる場合にあるということを念頭に置いた上で、不正確さを認識した上で使うならばかまわない。教わる側にも、その考え方に問題点があることを伝えておけば。

かつては私も数学をイメージで理解しようとしたことがあるが、1/2乗という概念が理解できなかった。2乗というのは同じ数を二つ掛け合わせることだが、1/2乗というのは同じ数を1/2個掛け合わせることになる。

1/2個掛け合わせるってなんだ？　全くイメージできない。

それ故に、そんな悩み事から解放されるため、式変形に従いA^(1/2) = √Aと受け入れることにした。数学は、公理に従って式を変形するゲームにすぎない。それ故に、ルールに従ってそれが導出されればそれでいい。イメージなんて思い浮かべる必要はない。

その方が、数学を数学として学べるだろうと思う。