中卒ニート、世界を語る: 中ニ流、モンティホール問題解釈（２）

中ニ流、モンティホール問題解釈（１）の続きだ。直感的には納得しがたいモンティホール問題に中卒ニートが新しい解釈を与えようとしている。

ただしお断りしておくが、タイトルにもあるように、これは解釈だ。証明ではない。そこのところ、お間違えのないように。

中ニ流、モンティホール問題解釈

まず、プレイヤーが最初のドアを選んだとき、そのドアにアタリが入っている確率が1/3であることは疑いようがない。この点については異論がないと思う。

問題はここからだ。

次に、司会がハズレのドアを見せてくれる。すると残されたドアが二つになる。だから、どちらかがアタリでどちらかがハズレ。よって、どちらのドアにも1/2の確率でアタリが入っていることになる。

と、普通はみんなそう思う。だからこそ学者達も混乱したんだ。

もし仮に、実際にこの直感が正しいとしよう。だとすれば、プレイヤーが選んだドアのアタリ率が1/3から1/2に変化したことになる。ならば、そういった確率的な変化を生じさせた何かがなければならない。

場の状況に変化がないならば、ドアのアタリ率に変化が生じるのはおかしい。では、何がドアのアタリ率に影響したのだろうか？

そんなものは決まってる。司会が残ったドアを一つ開けて見せたことだ。それ以外には考えられない。だが、ちょっと待ってほしい。本当にそうか？　そこでハズレのドアを見せてもらうことに、何か意味があるだろうか？

何回再確認するんだよと言いたいかもしれないが、ぐっとこらえてくれ。

1、ドアが三つ存在し、その奥には一つのアタリと、二つのハズレがランダムに配置されている。

2、プレイヤーはドアを一つ選ぶ。

3、司会は選ばれなかったドアの中から、ハズレが入っているドアを開けてみせる。

4、プレイヤーは、ドアを選び直すことができる。

これをよく読んでほしい。今度は3番じゃない。重要なのは1番と2番だ。

考えてみてくれ。ドアは三つ。アタリは一つ。選ぶのも一つ。選ばなかったドアは二つ。じゃぁ、選ばなかったドアにはハズレはいくつある？

一つか二つのどちらかだろう。ということは、選ばなかったドアには最低でも一つのハズレが含まれていることになる。それは、ゲームのルール上、最初から分かっていることだ。

さて、司会はハズレのドアを開けて見せてくれる。司会はどれがハズレかを知っているから、ハズレを見せてくれる。普通はここで、残りのドアが減ったことで、確率の変化が起きると思われている。しかし、私はそうは思わなくなった。

だって、選ばなかったドアの中に、最低一つのハズレが含まれていることは、最初から分かっている。司会が開けてみせるまでもなく、一つはハズレなんだ。司会はそれを「そのハズレはこれですよ」と教えてはくれるが、そんなものを教えてもらったからなんだというのか。

うっかりしてアタリを見せてしまう確率が0であるならば、ハズレを見せるという行為はプレイヤーが選択したドアのアタリ率には影響しない。こんなものは、ただのパフォーマンスでしかない。ドアの残りが二つになったことで、確率に影響があるかのような印象を与えてはいるが、実は何もしていないのと一緒だ。

ということは、プレイヤーが選択したドアのアタリ率は依然として1/3のままと言うことになる。では、残されたドアのアタリ率は？　1 - 1/3 = 2/3。よって2/3の確率で、選び直せば当たることになる。

というわけで、私が行き着いたのは「ハズレのドアを開けてみせるという行為には何の意味もないから、プレイヤーが選んだドアのアタリ率は、選んだときのまま変化がない。よって、選び直せば2倍当たりやすくなる」という、そういう解釈だ。

モンティホール問題を分かりやすくする解説として、ドアの数を増やす手法がある。最初に選んだドアのアタリ率は1/100。司会が98個のハズレドアを開けて見せてくれるけども、選ばなかったドアの中には最低98個のハズレが含まれていることははじめから分かっている。

それを手間をかけていちいち教えてくれてもくれなくても、選んだドアのアタリ率には変化はない。よって、最後に残ったドアのアタリ率は99/100ということになる。

が、もしも司会がランダムにドアを開けるのであれば話は全く違ってくる。わかりやすいのでドアを100個のまま解説しよう。

プレイヤーがハズレを選んだにもかかわらず、司会がランダムにドアを開け続けて、98回連続でハズレを引く確率は1%程度のようだ。表計算ソフトで計算させてみたが、関数の使い方があってるのか、ちょっとよく分からない。めんどくさすぎて、手動検算なんてやってられないし。

ま、何にせよ一度もアタリを引かない確率はかなり低いだろう。ということは、この場合は選び直さない方がアタリの確率が高いことになる。たった1%の確率を引き当てたと考えるより、そもそもその中にはアタリが含まれていなかったんだろうと考える方が合理的だ。ということは、選んだドアがアタリなんだろう。

とまぁそういうわけで、私の中ではだいたい納得ができた。これを読んだ人が納得してくれるかは分からないけど。